Hoy 12 de mayo, se celebra el Día Escolar de las Matemáticas. Fue en el año 2000, declarado Año Mundial de las Matemáticas por la UNESCO, cuando se instituyó este día como Día Escolar de las Matemáticas por la Federación Española de Sociedades de Profesores de Matemáticas (FESPM).

Especialmente en tiempos de crisis económica como la que estamos viviendo, y para estar al tanto de si las cosas van bien o mal, parece que estamos casi obligados a conocer algunos términos económicos, en general de carácter muy matemático. La XIII edición del Día Escolar de las Matemáticas está dedicada precisamente a la relación entre Matemáticas y Economía.

Y, ¿por qué el 12 de mayo? Se eligió este día conmemorando el nacimiento del matemático Pedro Puig Adam, iniciador de la didáctica de las matemáticas en España, y que nació en 12 de mayo de 1900. Como cuentan en la FESPM,  “con él se inició la renovación de enseñanza de las matemáticas en España, en la década de los cincuenta, movimiento del que la FESPM se siente heredera”. Desde entonces, cada año ha tenido lugar esta celebración centrándola en un tema que relaciona las matemáticas con algún otro ámbito del conocimiento.

• 2000: Pon un poliedro en tu centro
• 2001: Las matemáticas de los relojes de sol
• 2002: La Rosa de los vientos, el rumbo y la navegación
• 2003: Las matemáticas de Alicia y de Gulliver
• 2004: Frutas y Matemáticas
• 2005: El Quijote y las matemáticas
• 2006: Mirar el arte con ojos matemáticos
• 2007: Matemáticas y educación para la paz
• 2008: Matemáticas y música
• 2009: La ciudad y las matemáticas
• 2010: Prensa y matemáTICas
• 2011: Las matemáticas de la química
• 2012: Matemáticas y economía. Ventajas de la cooperación

¿Por qué aprender matemáticas?

Aunque tradicionalmente las matemáticas han sido sido siempre consideradas el “hueso” en cualquier curso, podemos encontrar varios motivos que pueden fomentar el interés por aprenderlas.

En primer lugar su utilidad en cualquier faceta de nuestras vidas. No hay día de la semana en el que no tengamos que enfrentarnos a algún cálculo matemático, aunque sea básico. Adquirir cierta agilidad con las operaciones matemáticas, garantiza que podamos resolver determinadas situaciones que se puedan presentar, especialmente en cuestión de toma de decisiones. Las matemáticas son el arte de pensar bien. El carácter metódico con el que se resuelven los problemas matemáticos, permite desarrollar el hábito de pensar de forma organizada también en otro tipo de problemas, no necesariamente matemáticos. Por otro lado, piensa también que sin matemáticas no habría móviles, ordenadores, videoconsolas… Internet.

La colección de libros “El Mundo es Matemático” dedica uno de sus entregas a las matemáticas de la economía.

Leemos en la contraportada:

Buena parte de nuestro quehacer matemático diario está relacionado de un modo u otro con la economía: comparamos precios, calculamos la vuelta de la compra, interpretamos las noticias sobre la inflación o el paro… De hecho, es muy posible que contratar un préstamo o una hipoteca sea la decisión matemáticamente más compleja que tome un individuo cualquiera a lo largo de su vida. En este volumen se explican de forma amena y rigurosa las matemáticas que subyacen a la economía y las finanzas de personas y países.

¿Por qué estudiar la carrera de matemáticas?

De disfrutar con las matemáticas en secundaria y bachillerato, a elegir Matemáticas como estudios universitarios, hay lógicamente un gran salto. Pasión por esta ciencia debe ser uno de los motivos, pero hay otros. Los resume este reportaje de Tesis.

DEM 2012 | Día Escolar de las Matemáticas 2012
Tesis | Reportaje sobre los estudios de Matemáticas
Foto Fórmula | basada en “easy math” de Daniel Kulinski en Flickr

Leí en el blog Fotomat sobre fotografía y matemáticas una fantástica frase para explicar la recursividad. También la fotografía que publica refleja perfectamente el concepto.

“Si un genio te ofrece tres deseos dile que te bastan dos: El 1º lo que quieras y el 2º otros dos deseos. Eso es recursividad.”

Una definición de recursividad (también llamada recursión o recurrencia) sería

“La recursividad es la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición.”

Como se puede observar en la imagen, en el cuadro que sostiene la chica, aparece de nuevo la imagen completa original. Y así sucesivamente, idealmente hasta el infinito. Sin embargo, cuando se utiliza la recursividad en matemáticas, es necesario definir lo que se denomina “caso base”, una condición que permite evitar el carácter infinito de la recursividad.

Podemos encontrar muchos ejemplos de recursión en las funciones matemáticas. Uno de los ejemplos clásicos de funciones que pueden definirse de forma recursiva son la función factorial de un número: n!

¿Qué es el factorial de un número?

De nuevo, una definición:

Para todo entero positivo n, el factorial de n o n factorial se define como el producto de todos los números enteros positivos desde 1 (es decir, los números naturales) hasta n.

La letra pi mayúscula que aparece en la fórmula se llama productorio, y es un operador matemático (como el sumatorio) que representa una multiplicación de una serie de números (finita o infinita).

Es decir, para calcular por ejemplo el factorial de 6, y se expresa como 6!, habría que realizar el producto de los número naturales desde 1 (k=1) hasta 6 (que es el valor de n).

Se dice que este método para calcular la función factorial es de tipo iterativo. Se realiza un recorrido (iteración) por los distintos números, multiplicando en cada paso cada número de la serie por el siguiente (que es el anterior más 1).

Se trata de una función que aparece con mucha frecuencia en los cálculos de combinatoria (combinaciones, variaciones y permutaciones), fundamental para el cálculo de probabilidades. De hecho, en cualquier calculadora científica, podemos encontrar una tecla que realiza precisamente esta función sobre un número.

Pero también existe una definición recursiva de la función factorial.

Podemos observar que en la definición de la función factorial (la expresión a la derecha del símbolo “=”), aparece de nuevo la función factorial. Esta situación corresponde con la definición de recursividad que comentábamos al principio: “la forma en la cual se especifica un proceso basado en su propia definición.”

Ahora sabemos que la calculadoras disponen de la función factorial. Pero, ¿cómo se puede programar este cálculo con un ordenador? Los lenguajes de programación también permiten definir funciones de forma recursiva, y un ejemplo de implementación de la función factorial en Java sería la siguiente (clic sobre la imagen para probar el código).

El desarrollo de la función factorial de forma recursiva según el código anterior sería:

factorial(6) = 6·factorial(5)
factorial(5) = 5·factorial(4)
factorial(4) = 4·factorial(3)
factorial(3) = 3·factorial(2)
factorial(2) = 2·factorial(1)
factorial(1) = 1·factorial(0)
factorial(0) = 1

Y procediendo y resolviendo en orden inverso:

factorial(0) = 1
factorial(1) = 1·factorial(0) = 1
factorial(2) = 2·factorial(1) = 2·1 = 2
factorial(3) = 3·factorial(2) = 3·2 = 6
factorial(4) = 4·factorial(3) = 4·6 = 24
factorial(5) = 5·factorial(4) = 5·24 = 120
factorial(6) = 6·factorial(5) = 6·120 = 720

Este último paso se denomina caso base. En algún momento, la recursión debe terminar. Si ni impusiéramos una última condición, la recursión seguiría indefinidamente.

Código Java | Función factorial
En Tiching | Recursividad y la función factorial
Foto Recursividad | Fotomat
Foto Calculadora | por Simon Q en Flickr

Supongamos el experimento de lanzar un dado. Existen 6 posibles resultados: 1,2,3,4,5 y 6. En un primer ejemplo, supongamos también dos sucesos A y B. El primero, A, se refiere al suceso “sacar menor que 5″. El suceso B, “sacar número par”.

Realizar el cálculo de la probabilidad de A es sencillo: 4 casos favorables de 6 posibles. Para el suceso B: 3 casos favorables de 6 posibles. Un 67% y un 50% respectivamente. Pero, ¿cuál es la probabilidad de la unión de ambos sucesos? Con otras palabras, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra uno u otro? Si sumamos ambas probabilidades, obtenemos un 117%, lo cual es incorrecto. Las probabilidades siempre tienen un valor entre 0 y 1 (0% y 100%).

Sin embargo, con un segundo ejemplo en el que el suceso A es “sacar par” (50%) y B “sacar impar” (50%), la suma de probabilidades es correcta: un 100% (se trata de un suceso seguro; podemos afirmar rotundamente que o bien sale par o sale impar).

¿Por qué la suma de probabilidades “funciona” para el segundo ejemplo pero no para el primero? La clave está en la compatibilidad de los sucesos. En el primer ejemplo, los sucesos son compatibles. En el segundo, incompatibles. Y para responder a estas preguntas he preparado unos apuntes sobre el cálculo de la probabilidad de la unión de sucesos, compatibles e incompatibles.

Apuntes | Probabilidad de la unión de sucesos
En Tiching | Probabilidad de la unión de sucesos
Foto | Dice five de Doug Wheller en Flickr

La semana pasada publiqué un par de artículos sobre probabilidad. Con “La Ley de los Grandes Números y los 1000 lanzamientos de un dado” proponia una actividad con la hoja de cálculo para el aula de matemáticas, realizando con el ordenador simulaciones de experimentos de lanzamientos de dados.

Y con el recurso “Trocitos de código (I). Lanzando una moneda millones de veces: ¿cara o cruz?”, empezaba una serie de artículos con ejemplos de programas escritos con algún lenguaje de programación y que resuelven algún problema concreto de matemáticas. Y empezaba con la simulación de millones de lanzamientos de una moneda.

Comparto esta semana una primera ficha de ejercicios sobre probabilidad. Se trata sobre cuestiones de experimentos de azar, definición de sucesos, operaciones de unión e intersección de sucesos, compatibilidad entre sucesos, análisis de frecuencias y cálculo de probabilidades aplicando la Regla de Laplace.

¿Y dónde encontrar más ejercicios?

Propongo realizar una búsqueda en Tiching para encontrar todo tipo de recursos sobre el tema. Introduciendo los términos “ejercicios de probabilidad” en el explorador, obtenemos una larga lista de recursos disponibles, que podemos filtrar según el nivel educativo (3º de ESO).

Ejercicios | Probabilidad (PDF, 2 páginas)
En Tiching | Ejercicios de Probabilidad